Лекция 7. Теория вероятностей

СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Была рассмотрена теорема сложения для несовместных событий. Здесь будет изложена теорема сложения для совместных событий.

Два события называют совместными , если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Пример 1 . А – появление четырех очков при бросании игральной кости; В – появление четного числа очков. События А и В – совместные.

Пусть события А и В совместны, причем даны вероятности этих событий и вероятность их совместного появления. Как найти вероятность события А + В, состоящего в том, что появится хотя бы одно из событий А и В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения вероятностей совместных событий.

Теорема . Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Доказательство . Поскольку события А и В, по условию, совместны, то событие А + В наступит, если наступит одно из следующих трех несовместных событий: . По теореме сложения вероятностей несовместных событий, имеем:

Р(А + В) = Р(А ) + Р( В) + Р(АВ). (*)

Событие А произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: А
или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем

Р(А) = Р(А ) + Р(АВ).

Р(А )=Р(А) – Р(АВ). (**)

Аналогично имеем

Р(В) = Р(ĀВ) + Р(АВ).

Р(ĀВ) = Р(В) – Р(АВ). (***)

Подставив (**) и (***) в (*), окончательно получим

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ). (****)

Что и требовалось доказать.

Замечание 1. При использовании полученной формулы следует иметь в виду, что события А и В могут быть как независимыми , так и зависимыми .

Для независимых событий

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А)*Р(В);

Для зависимых событий

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А)*Р А (В).

Замечание 2. Если события А и В несовместны , то их совмещение есть невозможное событие и, следовательно, Р(АВ) = 0.

Формула (****) для несовместных событий принимает вид

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Мы вновь получили теорему сложения для несовместных событий. Таким образом, формула (****) справедлива как для совместных, так и для несовместных событий.

Пример 2. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: p 1 = 0,7; p 2 = 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе
(из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

Решение . Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результата стрельбы из другого орудия, поэтому события А (попадание первого орудия) и В (попадание второго орудия) независимы.

Вероятность события АВ (оба орудия дали попадание)

Р(АВ) = Р(А) * Р(В) = 0,7 * 0,8 = 0,56.

Искомая вероятность Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

Замечание 3. Так как в настоящем примере события А и В независимые, то можно было воспользоваться формулой Р = 1 – q 1 q 2

В самом деле, вероятности событий, противоположных событиям А и В, т.е. вероятности промахов, таковы:

q 1 = 1 – p 1 = 1 – 0,7 = 0,3;

q 2 = 1 – p 2 = 1 – 0,8 = 0,2;

Искомая вероятность того, что при одном залпе хотя бы одно орудие даст попадание, равна

P = 1 – q 1 q 2 = 1 – 0,3 * 0,2 = 1 – 0,06 = 0,94.

Как и следовало ожидать, получен тот же результат.

Пусть события А и В ― несовместные, причем вероятности этих событий известны. Вопрос: как найти вероятность того, что наступит одно из этих несовместных событий? На этот вопрос ответ дает теорема сложения.

Теорема. Вероятностьпоявления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

p (А + В ) = p (А ) + p (В ) (1.6)

Доказательство. Действительно, пусть n – общее число всех равновозможных и несовместных (т.е. элементарных) исходов. Пусть событию А благоприятствует m 1 исходов, а событию В – m 2 исходов. Тогда согласно классическому определению вероятности этих событий равны: p (А ) = m 1 / n , p (B ) = m 2 / n .

Так как события А и В несовместные, то ни один из исходов, благоприятствующих событию А , не благоприятствует событию В (см. схему ниже).

Поэтому событию А +В будут благоприятствовать m 1 + m 2 исходов. Следовательно, для вероятности p (А + В ) получим:

Следствие 1. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице:

p (А ) + p (В ) + p (С ) + … + p (D ) = 1.

Действительно, пусть события А , В , С , … , D образуют полную группу. В силу этого они являются несовместными и единственно возможными. Поэтому событие А + В + С + …+ D , состоящее в появлении (в результате испытания) хотя бы одного из этих событий, является достоверным, т.е. А+В+С+…+ D = и p (А+В+С+ …+ D ) = 1.

В силу несовместности событий А , В , С , … , D справедлива формула:

p (А+В+С+ …+ D ) = p (А ) + p (В ) + p (С ) + … + p (D ) = 1.

Пример. В урне 30 шаров, из них 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность извлечения красного или синего шара при условии, что из урны извлекли только один шар.

Решение. Пусть событие А 1 – извлечение красного шара, а событие А 2 – извлечение синего шара. Данные события несовместны, причём p (А 1) = 10 / 30 = 1 / 3; p (А 2) = 5 / 30 = 1 /6. По теореме сложения получим:

p (А 1 + А 2) = p (А 1) + p (А 2) = 1 / 3 + 1 / 6 = 1 / 2.

Замечание 1. Подчеркнём, что по смыслу задачи необходимо прежде всего установить характер рассматриваемых событий – являются ли они несовместными. Если приведённую теорему применять к совместным событиям, то результат получится неверным.

Основные понятия
События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. В противном случае они называются совместными.
Полной группой называют совокупность событий, объединение которых есть событие достоверное.
Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу.
События называются зависимыми, если вероятность появления одного из них зависит от наступления или ненаступления других событий.
События называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от наступления или ненаступления других.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий
Р(A+B)=Р(A)+Р(B),
где А, В - несовместные события.

Теорема сложения вероятностей совместных событий
Р(A+B)=Р(A)+Р(B)-P(AB), где А и В - совместные события.

Теорема умножения вероятностей независимых событий
,
где А и В независимые события.
Теорема умножения вероятностей зависимых событий
Р(АВ)=Р(А)Р A (B),
где Р A (B) - вероятность наступления события В при условии, что произошло событие А; А и В- зависимые события.

Задача 1.
Стрелок производит два выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле 0,8. Составить полную группу событий и найти их вероятности. Решение.
Испытание - Производится два выстрела по мишени.
Событие А - оба раза промахнулся.
Событие В - попал один раз.
Событие С - оба раза попал.
.

Контроль: P(A) + P(B) + P(C) = 1.
Задача 2.
Согласно прогнозу метеорологов Р(дождь)=0,4; Р(ветер)=0,7; Р(дождь и ветер)=0,2. Какова вероятность того, что будет дождь или ветер? Решение. По теореме сложения вероятностей и в силу совместности предложенных событий имеем:
Р(дождь или ветер или то и другое)=Р(дождь) +Р(ветер) –Р(дождь и ветер)=0,4+0,7-0,2=0,9.
Задача 3.
На станции отправления имеется 8 заказов на отправку товара: пять – внутри страны, а три – на экспорт. Какова вероятность того, что два выбранных наугад заказа окажутся предназначенными для потребления внутри страны? Решение. Событие А – первый взятый наугад заказ – внутри страны. Событие В – второй тоже предназначен для внутреннего потребления. Нам необходимо найти вероятность Тогда по теореме об умножении вероятностей зависимых событий имеем

Задача 4.
Из партии изделий товаровед наудачу отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что выбранная вещь окажется высшего сорта равна, 0,8; первого сорта – 0,7; второго сорта – 0,5. Найти вероятность того, что из трех наудачу отобранных изделий будут:
а) только два высшего сорта;
б) все разные. Решение. Пусть событие - изделие высшего сорта; событие - изделие первого сорта; событие - изделие второго сорта.
По условию задачи ; ; События - независимы.
а) Событие А – только два изделия высшего сорта будет выглядеть так тогда

б) Событие В – все три изделия различны - выразим так:, тогда .
Задача 5.
Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: p1= 0,8; p2 =0,7; p3 =0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А ) при одном залпе из всех орудий. Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события (попадание первого орудия), (попадание второго орудия) и (попадание третьего орудия) независимы в совокупности.
Вероятности событий, противоположных событиям (т.е. вероятности промахов), соответственно равны:

Искомая вероятность
Задача 6.
В типографии имеется 4 печатных машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина (событие А ). Решение. События «машина работает» и «машина не работает» (в данный момент) – противоположные, поэтому сумма их вероятностей равна единице:
Отсюда вероятность того, что машина в данный момент не работает, равна
Искомая вероятность . Задача 7. В читальном зале имеется 6 учебников по теории вероятностей, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.

Решение. Рассмотрим следующие события:
А1- первый взятый учебник в переплете;
A2- второй взятый учебник в переплете.
Событие, состоящее в том, что оба взятых учебника в переплете . События А1 и А2 являются зависимыми, так как вероятность наступления события А2 зависит от наступления события А1. Для решения указанной задачи воспользуемся теоремой умножения вероятностей зависимых событий: .
Вероятность наступления события А1 p(A1) в соответствии с классическим определением вероятности:
P(A1)=m/n=3/6=0,5.
Вероятность наступления события А2 определяется условной вероятностью наступления события А2 при условии наступления события А1 , т.е. (A2)==0,4.
Тогда искомая вероятность наступления события:
P(A)=0,5*0,4=0,2.

Тема: 15. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ

ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ИХ СЛЕДСТВИЯ

1. Теорема сложения вероятностей совместных событий.

2. Теорема умножения вероятностей независимых событий.

3. Условная вероятность события. Теорема умножения вероятностей зависимых событий.

4. Теорема сложения вероятностей совместных событий.

5. Формула полной вероятности, формула Бейеса.

6. Повторение испытаний.

1. Теорема сложения вероятностей совместных событий.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий.

Если события А и В – совместные, то их сумма А+В обозначает наступление или события А, или события В, или обоих событий вместе. Если А и В – несовместные события, то их сумма А+В означает наступление или события А, или события В.

Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении этих событий.

Теорема: Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий

Р (А+В) = Р (А)+ Р(В).

Следствие: Сумма вероятностей несовместных событий А 1 ,...,А n , образующих полную группу, равна единице:

Р(А 1) + Р(А 2)+... +Р (А n) = 1

2. Теорема умножения вероятностей независимых

событий .

Два события называются независимыми, если вероятность появления одного из них не зависит от того, появилось или не появилось другое событие.

Несколько событий называются взаимно независимыми (или независимыми в совокупности), если каждое из них и любая комбинация, составленная из остальных (части или всех) событий, являются независимыми событиями.

Если события А 1 ,А 2 ,...,А n взаимно независимы, то и противоположные их события также взаимно независимы.

Теорема : Вероятность произведения нескольких взаимно независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Р(А 1 А 2 ,...А n ) = Р(А 1 )  Р(А 2 )  ...  Р(А n )

Для двух событий Р(АВ) = Р(А)  Р(В)

Задача . Два товароведа работают независимо друг от друга. Вероятность пропустить бракованное изделие первым товароведом 0,1; вторым 0,2. Какова вероятность то­го, что при просмотре изделия оба товароведа не пропустят брак.

Решение : событие А - брак пропустил I товаровед, событие В - брак пропустил II товаровед.

Где событие А – брак не пропустит I товаровед,

событие В - брак не пропустит II товаровед.

Так как оба работают независимо друг от друга, то А и В независимые события.

3. Условная вероятность события. Теорема умножения вероятностей зависимых событий.

Событие В называют зависимым от события А, если появление события А изменяет вероятность появления события В.

Вероятность события В, найденная при условии, что событие А произошло, называется условной вероятностью события В и обозначается Р А (В).

Теорема : Вероятность совместного появления двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на ус­ловную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событиеуже наступило, т.е.

Р(АВ) = Р(А)  Р А (В) или Р(АВ) = Р(В) Р В (А)

Теорема умножения вероятностей может быть распространена на любое число m зависимых событий А 1 А 2 ...А m .

Р(А 1 А 2 ..А m )=Р(А 1 ) 

причем вероятность последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие произошли.

Задача. В коробке 2 белых и 3 синих ручки. Из коробки вынимают подряд две ручки. Найти вероятность того, что обе ручки белые.

Решение: событие А - обе ручки белые, событие В - появление первой белой ручки, событие С - появление второй белой ручки.

Тогда А= В  С.

Так как первая ручка не возвращается в коробку, т.е. состав коробки изменился, то события В и С зависимые.

Р (В) = 2/5; Вероятность события С находим в предположении, что В уже произошло, т.е. Р B (С) = ¼.

Искомая вероятность

Тип задания: 4

Условие

Вероятность того, что аккумулятор не заряжен, равна 0,15. Покупатель в магазине приобретает случайную упаковку, которая содержит два таких аккумулятора. Найдите вероятность того, что оба аккумулятора в этой упаковке окажутся заряжены.

Показать решение

Решение

Вероятность того, что аккумулятор заряжён, равна 1-0,15 = 0,85. Найдём вероятность события «оба аккумулятора заряжены». Обозначим через A и B события «первый аккумулятор заряжён» и «второй аккумулятор заряжён». Получили P(A) = P(B) = 0,85. Событие «оба аккумулятора заряжены» — это пересечение событий A \cap B, его вероятность равна P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,85\cdot 0,85 = 0,7225.

Ответ

Тип задания: 4
Тема: Сложение и умножение вероятностей событий

Условие

Вероятность того, что ручка бракованная, равна 0,05 . Покупатель в магазине приобретает случайную упаковку, которая содержит две ручки. Найдите вероятность того, что обе ручки в этой упаковке окажутся исправными.

Показать решение

Решение

Вероятность того, что ручка исправная, равна 1-0,05 = 0,95. Найдём вероятность события «обе ручки исправны». Обозначим через A и B события «первая ручка исправна» и «вторая ручка исправна». Получили P(A) = P(B) = 0,95. Событие «обе ручки исправны» — это пересечение событий A\cap B, его вероятность равна P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,95\cdot 0,95 = 0,9025.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 4
Тема: Сложение и умножение вероятностей событий

Условие

На рисунке изображён лабиринт. Жук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти в обратном направлении жук не может, поэтому на каждой развилке он выбирает один из путей, в котором еще не был. С какой вероятностью жук придет к выходу Д, если выбор дальнейшего пути является случайным.

Показать решение

Решение

Расставим на перекрёстках стрелки в направлениях, по которым может двигаться жук (см. рис.).

Выберем на каждом из перекрёстков одно направление из двух возможных и будем считать, что при попадании на перекрёсток жук будет двигаться по выбранному нами направлению.

Чтобы жук достиг выхода Д, нужно, чтобы на каждом перекрёстке было выбрано направление, обозначенное сплошной красной линией. Всего выбор направления делается 4 раза, каждый раз независимо от предыдущего выбора. Вероятность того, что каждый раз выбрана сплошная красная стрелка, равна \frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12= 0,5^4= 0,0625.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 4
Тема: Сложение и умножение вероятностей событий

Условие

Стоянка освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,4. Найдите вероятность того, что за год хотя бы одна лампа не перегорит.

Показать решение

Решение

Сначала найдём вероятность события «обе лампы перегорели в течение года», противоположного событию из условия задачи. Обозначим через A и B события «первая лампа перегорела в течение года» и «вторая лампа перегорела в течение года». По условию P(A) = P(B) = 0,4. Событие «обе лампы перегорели в течение года» — это A \cap B, его вероятность равна P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0,4 \cdot 0,4 = 0,16 (так как события A и B независимы).

Искомая вероятность равна 1 - P(A \cap B) = 1 - 0,16 = 0,84.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 4
Тема: Сложение и умножение вероятностей событий

Условие

В гостинице стоят два кулера. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,2 независимо от другого кулера. Определите вероятность того, что хотя бы один из этих кулеров исправен.

Показать решение

Решение

Сначала найдём вероятность события «оба кулера неисправны», противоположного событию из условия задачи. Обозначим через A и B события «первый кулер неисправен» и «второй кулер неисправен». По условию P(A) = P(B) = 0,2. Событие «оба кулера неисправны» — это A \cap B , пересечение событий A и B , его вероятность равна P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,2\cdot 0,2 = 0,04 (так как события A и B независимы). Искомая вероятность равна 1-P(A \cap B)=1-0,04=0,96.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 4
Тема: Сложение и умножение вероятностей событий

Условие

На экзамене по физике студент отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что этот вопрос на тему «Механика», равна 0,25 . Вероятность того, что этот вопрос на тему «Электричество», равна 0,3 . Вопросов, которые относились бы сразу к двум темам, нет. Найдите вероятность того, что студенту попадётся вопрос по одной из этих двух тем.